ヒルベルト空間の閉部分空間に対して、

へのorthogonal projection をとし、

の共通部分空間への

orthogonal projection　をとするとき、

次が成立する。

証明

[1]が０次元のときだけ証明すればよい。何故なら、

、とおくと

へのorthogonal projection をとすると

、でさらに

、、、

一般に、

が成立する。

[2]以下　とする。

とおく

（は正の対称作用素になる。）

次の点列

（＊＊）

が０に収束することを証明する。

これを示せば十分である。

（＊＊）が０に収束すれば、

（＊）

もまた０に収束している。

何故なら、

（＊）

の第３項以後の奇数項列は

（＊＊）と一致し、

（＊）

の第３項の偶数項列は

と一致するから。

つぎに、

であるから

　-------------------------------------(1)

とおく。

を示すことが以下の目的である。

点列（＊＊）は有界列である：

。

ここで、

ヒルベルト空間の閉球は弱位相でコンパクト

を用いると、（＊＊）

の偶数項の部分列

で弱位相で収束するものがある。

この弱収束の極限をとおく。

ここで、が対称であることを使った。

この等式で、とすると、（１）より右辺は

左辺は弱収束を用いて

したがって、

--------------------------------------(2)

さらに、として、

------------------------------------------(3)

が成立する。また、

はに弱収束しているから、

上と同じことを繰り返すと、

ここで、として

として

-----------------------------------(4)

(3)と(4)より

------------------------------(5)

(5)より

ゆえに、かつがわかる。

すなわち、はの元であり、

仮定により、ゆえに（５）をみると

が示され

　　　証明が終わる

このprojectionの替わりに、

有限個のProjectinについても

交互に作用

させて同様なことが成立します。

このことを最初に証明したのは、

J.von Neumannです。

元の証明も同じようなものと思います。